Предисловие Учебное пособие представляет собой расширенный конспект лекций по курсу «Физика», читаемого для студентов отделения математики механико-математического факультета Московского университета. Оно охватывает лишь часть курса, посвященную основам квантовой механики и читаемую в 9-ом семестре (курс заканчивается в том же семестре рассмотрением основ равновесной статистической механики). К этому времени студенты уже прослушали необходимые для построения математического аппарата квантовой механики курсы уравнений в частных производных, функционального анализа, теории групп, но не изучали общую физику. Учитывая это, мы уделяем главное внимание физическому содержанию теории, не останавливаясь на математических «тонкостях» и проблемах, хорошо изложенных в специальной литературе. Постулаты квантовой механики формулируются явно, при этом подчеркиваются их экспериментальные основания. Ввиду очень ограниченного объема курса мы рассматриваем лишь несколько фундаментальных точно решаемых задач квантовой механики: гармонический осциллятор, момент импульса (орбитальный и спиновый), атом водорода. Кратко излагаются принципы теории систем тождественных частиц.
- УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
- Равновесие электромагнитного излучения и вещества
- Фотоэффект
- Эффект Комптона
- Волновые свойства электронов
- Стационарные состояния атома
- Теория Бора – Зоммерфельда
- Волновое уравнение Шрёдингера
- Для монохроматической волны
- Уравнение Шрёдингера для частицы в потенциальном поле
- ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
- Волновой пакет и его эволюция
- Волновая функция свободной частицы
- Квантовая частица
- Вероятностная интерпретация волновой функции
- НАБЛЮДАЕМЫЕ И ОПЕРАТОРЫ
- Фундаментальный оператор Гамильтона
- Принцип суперпозиции
- Условия одновременной измеримости наблюдаемых
- Пример
- Если два оператора имеют общий полную систему собственных векторов, то они коммутирую
- Пример
- Основные постулаты квантовой механики
- Соотношение неопределенностей
- Пример
- Рассмотрим случай координаты и импульса
- Постулаты
- Изменение наблюдаемых со временем
- Эволюция средних значений наблюдаемых
- Стационарные состояния
- Теоремы Эренфеста
- Переход к классическим уравнениям движения
- Интегралы движения и симметрия в квантовой механике
- Пример
- Соотношение неопределенностей «время – энергия»
- ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
- Осциллятор в классической механике
- Стационарные состояния осциллятора
- Энергия осциллятора
- Пример
- Нормированные волновые функции
- Алгебра гармонического осциллятора. Метод факторизации
- Пример1
- Пример2
- Когерентные состояния гармонического осциллятора
- Теория
- Вычислим среднее значение координаты осциллятора
- Центр пакета движется по классическому закону
- Оператор момента импульса
- Коммутационные соотношения
- Алгебра операторов момента
- Спектр операторов
- Решение системы неравенств
- Рассмотрим последовательность векторов
- Свойства момента
- Орбитальный момент
- в сферических координатах
- Теория
- Условие полноты системы
- Введем полиномы Лежандра
- Сферические функции
- Пример
- Спин уравнение паули
- Оператор спина
- Введем векторный оператор спина
- Квадрат спина
- Общие собственные векторы операторов
- Унитарные унимодулярные преобразования
- Уравнение Шрёдингера для частицы во внешнем электромагнитном поле
- Магнитный момент
- Магнитный момент и момент импульса
- Атом в магнитном поле
- Магнетон Бора
- Опыты Штерна и Герлаха
- Уравнение Паули
- Движение в центрально-симметричном поле
- Рассмотрим движение частицы в стационарном поле
- Стационарное уравнение Шрёдингера
- Спектр радиального гамильтониана
- Атом водорода
- Электрон в поле кулоновского центра
- Рассмотрим асимптотику ограниченного решения
- Теория
- Замечания
- Рассмотрим подробнее атом водорода
- Важные характеристики атома
- Основное состояние атома водорода
- Учет движения ядра
- Уточненный спектр излучения
- Тождественные частицы Принцип Паули
- Системы многих частиц
- Принцип тождественности
- Бозоны
- Гамильтониан
- Принцип Паули
- Система двух электронов
- Геометрическая оптика
- Пример 1. На стеклянную призму с преломляющим углом θ=50° падает под углом ε=30° луч света. Определить угол отклонения σ луча призмой, если показатель преломления п стекла равен 1,56.
- Пример 2. Оптическая система представляет собой тонкую плосковыпуклую стеклянную линзу, выпуклая поверхность которой посеребрена. Определить главное фокусное расстояние f такой системы, если радиус кривизны R сферической поверхности линзы равен 60 см.
- Фотометрия Основные формулы
- Пример
1. Прожектор ближнего освещения дает
пучок света в виде усеченного конуса с углом раствора 2
=40°.
Световой поток Ф прожектора равен 80 клм. Допуская, что световой поток распределен
внутри конуса равномерно, определить силу света I прожектора. - Пример 2. Люминесцентная цилиндрическая лампа диаметром d=2,5 см и длиной l=40 см создает на расстоянии r=5 м в направлении, перпендикулярном оси лампы, освещенность Еv=2 лк. Принимая лампу за косинусный излучатель, определить; 1) силу света I в данном направлении; 2) яркость L; 3) светимость М лампы.
- Интерференция света Основные формулы
- Пример 1. В точку А экрана от источника S1 монохроматического света длиной волны λ=0,5мкм приходят два луча: непосредственно от источника луч S1A, перпендикулярный экрану, и луч S1BA,отраженный в точке В от зеркала, параллельного лучу S1A (рис. 30.2). Расстояние l1 экрана от источника равно 1 м, расстояние h от луча S1A до плоскости зеркала равно 2 мм. Определить: 1) что будет наблюдаться в точке А экрана — усиление или ослабление интенсивности; 2) как изменится интенсивность в точке А, если на пути луча S1A перпендикулярно ему поместить плоскопараллельную пластинку стекла (n=1,55) толщиной d=6 мкм.
- Пример 2. На толстую стеклянную пластинку, покрытую очень тонкой пленкой, показатель преломления n2 вещества которой равен 1,4, падает нормально параллельный пучок монохроматического света (λ=0,6 мкм). Отраженный свет максимально ослаблен вследствие интерференции. Определить толщину d пленки.
- Дифракция света Основные формулы
- Пример 1. На диафрагму с круглым отверстием радиусом r=1 мм падает нормально параллельный пучок света длиной волны λ=0,05 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние bmax от центра отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно.
- Пример 2. На щель шириной а=0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (λ==0,6 мкм). Определить ширину l центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от линзы на расстоянии L=l м.
- Пример 3. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок света с длиной волны λ=0,5мкм. Помещенная вблизи решетки линза проецирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы на L=l м. Расстояние l между двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см (рис. 31.3). Определить: 1) постоянную d дифракционной решетки; 2) число n штрихов на 1 см; 3) число максимумов, которое при этом дает дифракционная решетка; 4) максимальный угол φmах отклонения лучей, соответствующих последнему дифракционному максимуму.
- Поляризация света
- Пример 1. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины пучок света составляет угол φ=97° с падащим пучком (рис. 32.1). Определить показатель преломления n жидкости, если отраженный свет полностью поляризован.
- Пример 2.Два николя N1 и N2 расположены так, что угол a между их плоскостями пропускания равен 60°. Определить: 1) во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении через один николь (N1); 2) во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении через оба николя? При прохождении каждого из николей потери на отражение и поглощение света составляют 5 %.
- Пример 3. Пучок частично-поляризованного света рассматривается через николь. Первоначально николь установлен так, что его плоскость пропускания параллельна плоскости колебаний линейно-поляризованного света. При повороте николя на угол (φ=60° интенсивность пропускаемого им света уменьшилась в 11.0pt'>k=2 раза. Определить отношение 11.0pt'>Ie/11.0pt'>Iп интенсивностей естественного и линейно-поляризованного света, составляющих данный частично-поляризованный свет, а также степень поляризации Р пучка света.
- Пример 4. Пластинка кварца толщиной 11.0pt'>d1=1 мм, вырезанная перпендикулярно оптической оси кристалла, поворачивает плоскость поляризации монохроматического света определенной длины волны на угол 11.0pt'>φ1=20°. Определить: 1) какова должна быть толщина 11.0pt'>d2 кварцевой пластинки, помещенной между двумя «параллельными» николями, чтобы свет был полностью погашен; 2) какой длины 11.0pt'>lтрубку с раствором сахара массовой концентрацией С=0,4 кг/л надо поместить между николями для получения того же эффекта? Удельное вращение [11.0pt'>α] раствора сахара равно 0,665 град/(м*кг*м-3).
- Оптика движущихся тел
- Пример 1. Источник монохроматического света с длиной волны 11.0pt'>λ0=600 нм движется по направлению к наблюдателю со скоростью 11.0pt'>v=0,1с (с—скорость распространения электромагнитных волн). Определить длину волны 11.0pt'>λ излучения, которую зарегистрирует спектральный прибор наблюдателя.
- Пример 2. Каким минимальным импульсом 11.0pt'>pmin (в единицах МэВ/с) должен обладать электрон, чтобы эффект Вавилова — Черенкова можно было наблюдать в воде?
- Законы теплового излучения
- Пример 1. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине волны λ=500 нм Принимая Солнце за черное тело, определить
- 1) энергетическую светимость 11.0pt'>Me Солнца;
- 2) поток энергии Фе, излучаемый Солнцем; 3) массу т электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.
- Пример 2. Длина волны λ11.0pt'>m , на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, равна 0,58 мкм. Определить максимальную спектральную плотность энергетической светимости (11.0pt'>Mλ,11.0pt'>T)11.0pt'>max, рассчитанную на интервал длин волн ∆11.0pt'>λ=1нм, вблизи 11.0pt'>λm.
- Фотоэлектрический эффект
- Пример 1. Определить максимальную скорость 11.0pt'>vmax фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны 11.0pt'>λ1 =0,155 мкм; 2) γ-излучением с длиной волны 11.0pt'>λ2=2,47 пм.
- Пример 2 Определить красную границу λ0 фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ=400 нм максимальная скорость 11.0pt'>vmax фотоэлектронов равна 0,65 Мм/с.
- Давление света. Фотоны
- Пример 1. Пучок монохроматического света с длиной волны 11.0pt'>λ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность Поток энергии Фе=0,6 Вт. Определить силу 11.0pt'>F давления, испытываемую этой поверхностью, а также число N фотонов, падающих на нее за время 11.0pt'>t=5 с
- Пример 2. Параллельный пучок света длиной волны λ=500 нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление p=10 мкПа. Определить: 1) концентрацию п фотонов в пучке, 2) число 11.0pt'>n1 фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1 с.
- Эффект Комптона
- Пример 1 В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол θ=90°. Энергия 11.0pt'>ε' рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию ε фотона до рассеяния.
- Пример 2. Фотон с энергией ε =0,75 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом 11.0pt'>θ=60°. Принимая, что кинетическая энергия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебрежимо малы, определить: 1) энергию 11.0pt'>ε' рассеянного фотона; 2) кинетическую энергию Т электрона отдачи; 3) направление его движения.
- Aтом водорода по теории Бора
- Пример1 Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (Боровский радиус) и скорость электрона на этой орбите.
- Пример 2 Определить энергию ε фотона, соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии (серии Пашена) атома водорода.
- Рентгеновское излучение
- Пример 1. Определить длину волны 11.0pt'>λKα и энергию ε11.0pt'>Kα11.0pt'> фотона Kα-линии рентгеновского спектра, излучаемого вольфрамом при бомбардировке его быстрыми электронами.
- Пример 2. Определить напряжение 11.0pt'>U, под которым работает рентгеновская трубка, если коротковолновая граница 11.0pt'>λmin в спектре тормозного рентгеновского излучения оказалась равной 15,5 пм.
- Строение атомных ядер
- Пример 1. Водород обогащен дейтерием. Определить массовые доли 11.0pt;font-family:Symbol'>w1 протия и 11.0pt;font-family:Symbol'>w2 дейтерия, если относительная атомная масса аr такого водорода оказалась равной 1,122.
- Пример 2. Определить отношение сечений 11.0pt; font-family:Symbol'>s1/11.0pt; font-family:Symbol'>s2 ядер висмута 2098311.0pt'>Bi и алюминия 2713А1.
- Пример 3. Ядро нептуния 2349311.0pt'>Np захватило электрон из K-оболочки атома (K-захват) и испустило α-частицу. Ядро какого элемента получилось в результате этих превращений? диплом белорусского вуза
- Радиоактивность
- Пример 1. Определить начальную активность А0 радиоактивного магния 2711.0pt'>Mg массой 11.0pt'>m=0,2 мкг, а также активность А по истечении времени t=1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа радиоактивны.
- Пример 2. При определении периода полураспада 11.0pt'>T1/2 короткоживущего радиоактивного изотопа использован счетчик импульсов. За время ∆t = 1 мин в начале наблюдения (11.0pt'>t=0) было насчитано ∆11.0pt'>n1=250 импульсов, а по истечении времени t=1 ч—∆11.0pt'>n2=92 импульса. Определить постоянную радиоактивного распада λ и период полураспада 11.0pt'>T1/2 изотопа.
- Элементы дозиметрии ионизирующих излучений
- Дефект массы и энергии связи атомных ядер
- Пример 1. Вычислить дефект массы ∆11.0pt'>m и энергию связи 11.0pt'>Eсв ядра 115В.
- Пример 2. Определить удельную энергию связи ядра 7311.0pt'>Li.
- Пример 3. Определить энергию Е, которую нужно затратить для отрыва нейтрона от ядра 231111.0pt'>Na.
- Ядерные реакции
- Основные формулы
- Простейшие случаи движения микрочастиц
- Строение атома
- Спектры молекул
- Волновые свойства микрочастиц
Примеры решения научно-технических задач
- Выбор аппроксимации для сложной функции
- Задание исходной функции и построение ее графика
- Аппроксимации рядом Тейлора
- Паде-аппроксимация
- Аппроксимация полиномами Чебышева
- Аппроксимация Чебышева-Паде
- Минимаксная аппроксимация
- Эффективная оценка рациональных функций
- Сравнение времен вычислений
- Преобразование в код Фортрана или С
- Моделирование физических явлений
- Расчет траектории камня с учетом сопротивления воздуха
- Движение частицы в магнитном поле
- Разделение изотопов
- Моделирование рассеивания альфа-частиц
- Моделирование и расчет электронных схем
- Нужно ли применять Maple для моделирования и расчета электронных схем?.
- Малосигнальный анализ усилителя на полевом транзисторе
- Расчет аналогового фильтра на операционном усилителе
- Проектирование цифрового фильтра
- Моделирование цепи на туннельном диоде
- Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов